Irina Meghea

Analiza

5
PREFAŢĂ
Lucrarea de faţă vine în sprijinul studenţilor anilor I ai facultăţilor
din Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti în studiul analizei
matematice cu o serie de probleme rezolvate, astfel încât să poată înţelege şi
deprinde metodele de calcul şi aspectele lor aplicative.
Structurată astfel în urma predării de către autoare a seminarului de
Analiză matematică la anul I al Facultăţii de Electronică, Telecomunicaţii şi
Tehnologia Informaţiei, lucrarea s-a dezvoltat ca o necesitate a studiului
individual, susţinând totodată părerea autoarei, şi nu numai a ei, că la baza
învăţământului tehnic superior trebuie să stea o solidă pregătire matematică,
deoarece un viitor inginer, rezolvând o problemă, trebuie să obţină şi
rezultatul corect, nu numai să ştie cum ar trebui rezolvată aceasta.
Materialul pus la dispoziţie urmează îndeaproape programa
disciplinei “Analiză matamatică” predată în anul I la facultăţile de profil
electric din cadrul universităţii, programă asemănătoare de altfel cu a
oricărei facultăţi tehnice.
Se regăsesc aici probleme rezolvate (cel mai adesea complet ori
avind numeroase indicaţii de calcul), precedate de necesarul teoretic (fără
demonstraţii însă) cu aplicabilitate directă în rezolvare.
Lucrarea oferă astfel cititorului o imagine de ansamblu asupra
utilităţii practice a noţiunilor (uneori la un grad ridicat de abstractizare) şi
implicării lor în probleme concrete izvorâte din probleme efective de
modelare.
În speranţa de a o găsi utilă, consider că lucrarea va contribui la
fundamentarea riguroasă şi la consolidarea pregătirii inginereşti a viitorilor
specialişti.
Irina Meghea,
10.03.2010
7
CUPRINS
Prefaţă 5
Cuprins 7
Lecţia I. Mulţimi. Şiruri de numere reale şi complexe.
Spaţii metrice. Teoremă de punct fix 11
1. Mulţimi şi funcţii 11
Mulţime finită 11
Şir finit 11
Şir infinit 12
Şir dublu 12
Familie de mulţimi 12
2. Şiruri de numere reale 15
2.1. Limită superioară şi limită inferioară 15
2.2 Şir de numere complexe 17
3. Spaţii metrice 18
3.1 Prime proprietăţi 18
Distanţă 18
Sferoid 20
3.2. Teorema Banach de punct fix 23
LECŢIA II. Serii de numere reale sau complexe. Serii
de funcţii 26
1. Serii de numere complexe 26
1.1 Definiţii, teorema Cauchy 26
1.2 Regula Abel 28
1.3 Convergenţă absolută 29
1.4 Criterii de comparaţie 32
1.5 Criteriul rădăcinii şi criteriul raportului 34
1.6 Criteriile Kummer, Raabe - Duhamel, Bertrand, Gauss 36
1.7 Operaţii de inel cu serii de numere complexe 38
2. Serie de funcţii 41
8
Convergenţă uniformă 44
Criterii de convergenţă uniformă 47
Limită, continuitate, derivabilitate, integrabilitate 52
Lecţia III. Serii de puteri. Serii Taylor. Limită şi
continuitate 64
1. Serii de puteri. Serii Taylor 64
1.1 Formula Taylor şi seria Taylor 64
A. Formula Taylor 64
B. Formula Taylor localã 65
C. Serie Taylor 69
1.2 Serie Taylor 76
Serie Taylor reală 76
2. Limită şi continuitate 93
2.1 Limită 93
Funcţie reală cu n variabile reale 93
2.2 Continuitate 94
Funcţie reală cu n variabile reale 94
Lecţia IV. Diferenţialitate. Derivate parţiale. Folosirea
diferenţialităţii în studiul funcţiilor 96
1. Diferenţialitate. Derivate parţiale 96
1.1 Derivata parţială (caz particular) 96
1.2 Diferenţiala 99
Derivata Fréchet 99
1.3 Diferenţiala funcţiei cu valori în Rm şi cu n variabile reale
100
Matrice Jacobi 100
1.4 Derivarea Fréchet a funcţiei compuse 103
Diferenţiala funcţiei reale compuse 104
1.5 Formula Taylor - Lagrange – Cauchy 105
1.6 Diferenţiala de ordin superior 107
Funcţie reală cu mai multe variabile reale 108
Funcţie reală cu mai multe variabile reale compusă 111
Schimbare de variabile 112
9
2. Folosirea diferenţiabilităţii în studiul funcţiilor 114
2.1 Extreme locale interioare 114
2.2 Funcţii implicite 119
2.2.1. Funcţie implicită 119
Plan tangent 121
2.2.2. Sistem de funcţii implicite 122
2.3 Dependenţă funcţională 126
2.4 Extreme locale condiţionate 128
Algoritm pentru găsirea extremelor locale condiţionate 129
2.5 Extreme Globale 133
Lecţia V. Integrale Riemann generalizate. Integrale cu
parametru 135
1. Integrale Riemann generalizate 135
1.1 Integrala Riemann pe interval nemărginit 135
1.2 Integrala Riemann cu punct singular 144
2. Integrala Riemann pe interval compact cu parametru 153
Lecţia VI. Integrale Riemann multiple 158
1. Integrale Riemann multiple 158
1.1. Schimbare de variabile în integrala Riemann multiplã 168
Coordonate polare în R2 169
Coordonate polare în R3 170
Coordonate polare în Rn, n ≥ 2 170
Coordonate polare generalizate în R2 172
Coordonate polare generalizate în R3 172
Coordonate polare generalizate în Rn, n ≥ 2 172
Exemple n = 2 172
Exemple n = 3 180
Exemple n ≥ 1 185
2. Integrala Riemann generalizatã în Rn, n ≥ 2 188
Exhaustie admisă 188
Punct singular 188
Integrala Riemann generalizată 188
Lecţia VII. Integrale curbilinii. Integrale de suprafaţă.
Formule integrale 203
1. Integrale curbilinii 203
1.1 Integrala curbilinie de prima speţă 203
10
Integrala curbilinie de speţa întâia în E3 203
Integrala curbilinie de speţa întâia în E2 204
1.2 Integrala curbilinie a doua speţă 205
Integrală curbilinie de speţa a doua pe suport 205
Integrala curbilinie de spaţa a doua în E2 206
2. Integrare pe suprafaţă netedă din R3 211
2.1 Aria suprafeţei netede din R3 211
2.2 Integrare pe suprafaţă netedă din R3 216
Integrala pe suprafaţă de speţa întâi 216
Integrala pe suprafaţă netedă de speţa a doua 220
3. Formule integrale 222
3.1 Formula generală Stokes-Ampère-Poincaré 222
Formule integrale (varietate diferenţiabilă cu bord) 227
Formula Gauss-Ostrogradski 227
Formula Gaus - Ostrogradski − cazuri particulare 228
Formulele Green 231
Formula S - A - P (varietate diferenţiabilă cu pseudobord standard) 242
Varietate diferenţiabilă cu pseudobord standard 242
Formula clasică Stokes-Ampère (formula S - A) 250
3.2 Analiză vectorială 254
Câmp scalar şi câmp vectorial 254
Circulaţie 255
Flux 258
Gradient 262
Divergenţă 264
Formule integrale în notaţii vectoriale şi formulări ale acestora 264
Operatori diferenţiali de ordinul al doilea 270
Operatorul nabla 273
Tabel de definiţii şi formule 278
BIBLIOGRAFIE 281

Monitonizarea si statistica poluantilor atmosferici !

5
Prefaţă
Una dintre problemele globale ale noului mileniu este legată de
schimbările de climă ca urmare a modificărilor majore produse de activitatea
antropică, îndeosebi cea industrială, asupra modului de integrare cosmică a planetei
noastre. În acest context, aspectele legate de monitorizarea factorilor de mediu şi
impactul poluării asupra sănătăţii reprezintă componente esenţiale ale politicilor şi
strategiilor naţionale, armonizate în prezent cu strategiile europene şi
internaţionale.
Lucrarea de faţă este o abordare modernă a problemelor referitoare la
monitorizarea poluanţilor atmosferici, cu accente specifice pe aspectele
cuantificabile prin utilizarea instrumentelor matematice, cu deosebire a celor de
statistică.
Sistemele actuale de monitorizare a poluanţilor prezenţi în factorii de
mediu generează un volum uriaş de date experimentale, care prin prelucrări
statistice pot oferi informaţii utile managementului procesului şi predicţiei evoluţiei
sale ulterioare. Pentru a fi predictibil un proces trebuie să fie controlabil statistic,
altfel concluziile rezultate din analiza datelor colectate nu au practic nicio
relevanţă. O contribuţie originală semnificativă a lucrării este adusă prin
particularizarea şi exemplificarea majorităţii conceptelor şi metodelor matematice
prezentate cu prelucrarea datelor concrete furnizate de Agenţia de Protecţie a
Mediului Bucureşti în urma monitorizării poluării atmosferice din câteva intersecţii
cu trafic intens din Bucureşti şi împrejurimile sale.
Un alt aspect legat de structura lucrării se referă la completarea
problematicii de monitorizare a atmosferei: surse şi tipuri de poluanţi, metode de
determinare a acestora, strategiile de monitorizare a aerului, meteorologia în
corelaţie cu poluarea aerului, cu efectele produse de poluanţii atmosferici asupra
sănătăţii, răspunzând astfel uneia dintre provocările moderne de tratare integrată a
problemelor de monitorizare în relaţia mediu – sănătate.
Utilitatea lucrării pentru specialiştii din domeniul protecţiei mediului şi
implementării legislaţiei de mediu în vigoare este subliniată de introducerea în
6
partea finală a lucrării a unor aspecte privind taxonomia de mediu şi relaţia
ontologie web – mediu – sănătate.
Abordarea puternic interdisciplinară a acestei monografii are la bază
expertiza şi competenţele complementare ale autorilor, câştigate prin lucrul în
echipă într-o serie de proiecte de cercetare naţionale şi internaţionale, precum şi
prin lucrări publicate în reviste internaţionale de profil.
În final mai trebuie să amintim că lucrarea este rodul colaborării transsectoriale
între colectivul de autori din Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti
şi Institutul Naţional de Cercetare Proiectare pentru Inginerie Electrică, ICPE
Bucureşti, în cadrul unui proiect european FP 6 Marie, KnowEnTech No MTKI –
CT – 2005 – 029758, intitulat “Development of Strategic Academia – Industry
Partnerships in Romania for Knowledge Management in Environmental Friendly
Technologies”, pentru al cărui suport financiar aducem mulţumirile autorilor.
Autorii
7
CUPRINS
Capitolul 1
POLUAREA ATMOSFERICĂ: SURSE ŞI TIPURI DE POLUANŢI .... 13
1.1. Atmosfera: straturile şi constituenţii chimici ai atmosferei ..................... 13
1.2. Poluarea aerului – aspecte generale ......................................................... 18
1.2.1. Clasificarea poluanţilor din aer ....................................................... 18
1.2.2. Incălzirea globală ............................................................................ 21
1.2.3. Efectele multiple ale poluării aerului .............................................. 22
1.3. Surse de poluare a aerului ........................................................................ 24
1.3.1. Surse naturale .................................................................................. 27
1.3.2. Surse antropogenice sau „man-made” ............................................ 29
1.4. Tipuri şi surse de poluanţi atmosferici ..................................................... 30
1.4.1. Oxizii de carbon .............................................................................. 31
1.4.2. Plumbul ........................................................................................... 35
1.4.3. Compuşii cu sulf ............................................................................. 41
1.4.4. Compuşii cu azot ............................................................................ 43
1.4.5. Hidrocarburi şi derivaţi ai acestora ................................................. 46
1.4.6. Oxidanţi fotochimici ....................................................................... 51
1.4.7. Materia în suspensie (PM) .............................................................. 53
1.4.7.1. Dimensiunea particulelor în suspensie ............................... 55
1.4.7.2. Clase şi surse ...................................................................... 56
1.4.7.3. Compoziţie chimică ........................................................... 57
1.4.7.4. Comportare în atmosferă .................................................... 58
8
Capitolul 2
DETERMINAREA POLUANŢILOR DIN AER ………………………...
61
2.1. Prelevarea probelor de aer ........................................................................ 63
2.1.1. Elemente ale unui sistem de prelevare a aerului ambiental ……… 65
2.1.2. Tehnici de prelevare şi prelucrare a probelor ……………………. 65
2.2. Metode de analiză a poluanţilor din aer ………………………………... 67
2.2.1. Determinarea concentraţiei de SO2 ………………………………. 67
2.2.2. Determinarea concentraţiei de NOx …………………………….... 69
2.2.3. Determinarea concentraţiei de CO ……………………………….. 71
2.2.4. Determinarea concentraţiei de hidrocarburi ……………………... 74
2.2.5. Determinarea pulberilor in suspensie (PM) ……………………… 78
2.2.5.1. Filtrarea ………………………………………………….. 80
2.2.5.2. Colectarea de către impactori ……………………………. 82
2.2.5.3. Analiza particulelor ……………………………………… 83
2.2.5.4. Determinarea concentratiei de metale grele ……………... 84
2.2.6. Determinarea oxidanţilor atmosferici ……………………………. 85
Capitolul 3
STRATEGII DE MONITORIZARE A AERULUI ……………………...
89
3.1. Obiectivele generale ale unei monitorizări de mediu …………………... 89
3.2. Sisteme de monitorizare ………………………………………………... 93
3.3. Monitorizarea emisiilor ambientale ……………………………………. 96
3.3.1. Studiu de caz. Monitorizarea concentraţiilor de Pb şi CO din
Bucureşti şi împrejurimi ………………………………………………..
99
3.3.1.1.Variaţii ale concentraţiilor de Pb în cele patru puncte de
monitorizare ………………………………………………………
101
3.3.1.2. Variaţii ale concentraţiilor de CO în cele patru puncte de
monitorizare ………………………………………………………
112
3.3.1.3. Concluzii ………………………………………………… 126
3.3.2. Emisii de la vehicule cu motor …………………………………... 127
3.3.2.1. Ingineria combustiei interne …………………………….. 128
3.3.2.2. Studiu de caz. Comercializarea benzinei fără plumb în
Bucureşti ………………………………………………………….
130
9
Capitolul 4
METEOROLOGIA ŞI POLUAREA AERULUI ………………………...
133
4.1. Aspecte meteorologice şi topografice ………………………………….. 133
4.2. Dispersia orizontală a poluanţilor ……………………………………… 126
4.2.1. Vântul şi regimul de mişcare a aerului ………………………….. 137
4.2.2. Viteza vântului …………………………………………………… 139
4.2.3. Roza vânturilor …………………………………………………... 140
4.2.4. Direcţia vântului …………………………………………………. 141
4.2.5. Turbulenţa atmosferică …………………………………………... 141
4.3. Dispersia verticală a poluanţilor ………………………………………... 142
4.3.1. Viteze de transfer ………………………………………………… 143
4.3.2. Stabilitate şi instabilitate …………………………………………. 144
4.3.3. Inversii şi precipitaţii …………………………………………….. 145
4.4. Studiu de caz. Influenţa precipitaţiilor asupra concentraţiilor de plumb
şi monoxid de carbon în intersecţia Mihai Bravu …………………………...
146
Capitolul 5
PROBLEME DE MEDIU ŞI STATISTICĂ ………………………
153
5.1. Aspecte generale privind prelucrarea statistică a datelor
experimentale ........................................................................................
153
5.1.1. Repartiţia normală a erorilor aleatorii de măsurare ............... 155
5.1.2. Principalii parametri statistici ............................................. 156
5.1.3. Eliminarea datelor afectate de erori grosolane …………….. 158
5.1.4. Verificarea normalităţii repartiţiei datelor ............................ 160
5.2. Analiza statistică a seriilor cronologice ......................................... 178
5.2.1. Cronograme, diagrama de coloane şi benzi .......................... 179
5.2.2. Proprietăţile seriilor cronologice ........................................... 181
5.2.2.1. Etapele de studiu ale unei serii cronologice .............. 186
5.2.2.2. Tendinţa unei serii cronologice ................................. 195
5.2.2.3. Metode analitice pentru determinarea trendului ....... 205
5.2.2.4. Prognoza evoluţiei seriilor cronologice .................... 207
5.3. Caracterul statistic al datelor rezultate de la monitorizarea
mediului. Studiu de caz ……………………………………………….
222
5.4. Hărţi pentru monitorizarea concentraţiei unui poluant .................. 232
10
5.4.1. Aspecte generale privind hărţile de monitorizare ................. 233
5.4.2. Harta de control CUSUM …………………………………. 237
5.4.3. Harta de control EWMA …………………………………... 239
Capitolul 6
EFECTE ALE POLUANŢILOR ATMOSFERICI ASUPRA
SĂNĂTĂŢII ........................................................................................
243
6.1. Aspecte ale chimiei toxicologice ................................................... 244
6.1.1. Clasificarea tipurilor de expunere ......................................... 245
6.1.2. Relaţia doză – răspuns ........................................................... 247
6.2. Probleme de sănătate asociate unei expuneri normale ................... 248
6.2.1. Legătura cauză-efect ............................................................. 248
6.2.1.1. Studii epidemiologice ............................................... 249
6.2.1.2. Efectele interacţiei între poluanţi. Sinergism şi
antagonism .............................................................................
250
6.2.1.3. Atribuirea expunerii şi susceptibilitatea populaţiei ... 251
6.2.1.4. Studii toxicologice pe oameni şi animale ................. 252
6.3. Impactul poluanţilor atmosferici asupra organismului uman ......... 253
6.4. Efecte ale principalilor poluanţi atmosferici asupra sănătăţii ........ 258
6.4.1. Monoxidul de carbon ............................................................ 258
6.4.1.1. Intoxicarea cu monoxid de carbon ............................ 259
6.4.1.2. Fiziopatologia intoxicării cu monoxid de carbon ..... 262
6.4.1.3. Studii fiziologice şi epidemiologice ale CO ............. 267
6.4.2. Plumbul ................................................................................. 268
6.4.2.1. Căile de expunere şi acumulare (absorbţie) ale
plumbului în organism ...........................................................
268
6.4.2.2. Absorbţia, distribuţia şi eliminarea plumbului în
organismul unui copil .............................................................
271
6.4.2.3. Efecte asupra sănătăţii ............................................... 274
6.4.2.4. Efecte ale toxicităţii plumbului asupra sănătăţii
copiilor ...................................................................................
275
6.4.3. Oxizii de sulf ......................................................................... 279
6.4.4. Oxizii de azot ........................................................................ 280
6.4.5. Materia în suspensie (PM) .................................................... 281
6.4.6. Ozonul ................................................................................... 283
6.4.7. Hidrocarburi nemetanice ....................................................... 285
6.4.8. Poluanţii organici persistenţi ................................................. 286
11
Capitolul 7
TAXONOMIA DE MEDIU ŞI RELAŢIA ONTOLOGIE WEB –
MEDIU – SĂNĂTATE .......................................................................
287
7.1. Consideraţii asupra unei ontologii web .......................................... 287
7.2. Taxonomia de mediu ...................................................................... 290
7.2.1. Taxonomia de apă …………………………………………. 292
7.2.3. Taxonomia de sol ………………………………………….. 303
7.2.4. Taxonomia de aer ………………………………………….. 309
BIBLIOGRAFIE ................................................................................. 319
ANEXE ................................................................................................. 327

Algebra

5
PREFAŢĂ
Lucrarea de faţă îşi propune să vină în ajutorul studenţilor anului I ai
facultăţilor din Universitatea POLITEHNICA Bucureşti, adunând în
conţinutul său noţiunile de algebră, geometrie analitică şi geometrie
diferenţială de bază necesare învăţământului tehnic superior. Manualul a
fost astfel organizat în urma predării de către autoare a cursului de “Algebră
şi Geometrie” la anul I al Facultăţii ETTI, urmându-se programa în vigoare
şi cerinţele cadrului actual al predării acestei discipline.
Datorită faptului că optez pentru eliminarea, dacă se poate totală, a
demonstraţiilor în cursul predării pentru a putea urmări şi expune simplu şi
clar noţiunile care trebuiesc reţinute în scopul acumulării cu uşurinţă a
noţiunilor esenţiale cu accent pe partea aplicativă, găsesc loc aici pentru a
da justificările complete pentru a oferi celor interesaţi de o coerenţă
matematică riguroasă. Caracterul abstract este temperat de o multitudine de
aplicaţii şi exerciţii rezolvate, astfel că lucrarea poate sluji şi ca ghid de
seminar. De asemenea, sunt date exemple de aplicare a noţiunilor predate în
probleme izvorâte din ştiinţele naturii şi tehnică, fapt care motivează
(dincolo de rolul formativ al învăţării matematicii) şi oferă cititorului o
viziune cuprinzătoare asupra materialului studiat.
În speranţa de a deveni utilă această carte, consider că va contribui la
fundamentarea riguroasă si la consolidarea pregătirii inginereşti a viitorilor
specialişti,
Irina Meghea,
26.01.2010
7
CUPRINS
Prefaţă 5
Cuprins 7
Lecţia I. Matrici , determinanţi, sisteme de ecuaţii liniare 13
Completări pentru matrici 13
Completări pentru sisteme de ecuaţii liniare 18
Matrici operatori 22
Forma în scară 25
Lecţia II. Structuri algebrice 27
Relaţie binară 27
Relaţie de ecivalenţă 27
Relaţie de ordine 27
Grup 28
Grup ciclic 29
Ordinul unui element 29
Omomorfism de grupuri 29
Inel 30
Omomorfism de inele 30
Corp 30
Omomorfism de corpuri 30
Caracteristica unui corp 30
Inelul Zp 31
Elemente de teoria grupurilor finite 34
Subgrupuri normale şi subgrupuri cât 35
8
Lecţia III. Spaţii vectoriale. Dependenţă şi independenţă liniară.
Bază şi dimensiune 41
Spaţiu vectorial 41
Produs de spaţii vectoriale 42
Spaţiu vectorial cât 42
Spaţiu vectorial preordonat 42
Dependenţă liniară 42
Bază şi dimensiune 43
Schimbarea bazei 45
Sumă directă 52
Mulţime convexă 54
Lecţia IV. Valori proprii şi vectori proprii. Tipuri speciale de
matrici. Localizarea valorilor proprii 57
1. Valori proprii şi vectori proprii 57
2. Matrici Hermite 63
Matrici Hermite pozitive şi negative 68
A. Localizare şi inegalităţi 70
B. Teorema Perron-Frobenius 73
C. Teorema Hurwitz 76
D. Metode de calcul 79
Lecţia V. Aplicaţii liniare şi matrici asociate. Tipuri speciale de
operatori liniari 89
Operator liniar 89
Funcţională liniară (formă liniară) 89
Matricea unui operator liniar 90
Dualul algebric X # 94
Operator liniar autoadjunct 94
Matrici idempotente 96
Teorema Jordan 98
Câmpul valorilor 109
9
Lecţia VI. Spaţii normate. Spaţii prehilbertiene. Spaţii Hilbert.
Norme matriciale. Procedeul Gram-Schmidt 111
Spţiu normat 111
Spaţiu prehilbertian 114
Identităţi 115
Spaţiu Hilbert cu dimensiunea finită 117
Algebră pe corp comutativ 118
Algebră normată 118
Normă de aplicaţie liniară 119
||A||H , ||A||F , ||A||cl 119
Normă de aplicaţie liniară 119
Normă matricială tare 121
Spaţiul normat Mn (K), K = R sau K = C 122
Algebra Banach Mn (K), K = R sau K = C 123
Lecţia VII. Forme biliniare. Forme pătratice. Reducerea la forma
canonică şi clasificare 125
1. Forme biliniare 125
Forme biliniare pe Vn 125
2. Forme pătratice 127
Forme biliniare pe Vn 127
Forme biliniare pe Vn spaţiu vectorial real 131
Determinant Gram 133
Două forme pătratice 134
Lecţia VIII. Produse vectoriale şi produse mixte. Planul şi
dreapta în spaţiu 135
1. Formă multiliniară alternată şi produs exterior 135
Operetotul de antisimetrizare 136
Produs exterior 136
10
2. Spaţiu vectorial euclidian 140
Spaţiu vectorial real orientat 140
Spaţiu vecturial orientat 142
Produs exterior în En orientat 143
Produs vectorial în En orientat 145
Algebra Lie E3 146
3. Geometrie euclidiană 148
Distanţe, volume, unghiuri 148
Aplicaţie izometrică 150
Formă pătratică afină pe spaţiul euclidian En 151
Lecţia IX. Conice şi cuadrice. Reprezentări geometrice 153
Hiperplan principal şi direcţie principală 153
Formă canonică izometrică 156
Hipercuadrice într-un spaţiu euclidian 160
Hipersfera 165
Conice în E 2 166
Cuadrice în E3 169
Elipsoid nevid 170
Hiperboloid cu o pânză 171
Hiperboloid cu două pânze 171
Paraboloid elliptic 172
Paraboloid hiperbolic 172
Cilindru 173
Con 174
Cuadrice de rotaţie 174
Lecţia X. Geometrie diferenţială I (“Curbe”) 177
Geometrie diferenţială în spaţiul euclidian R3 177
A. Curbă paramatrizată în E2 şi în E3 177
Curbă Jordan rectificabilă 178
Tangentă 183
11
Plan osculator 184
Curbură 185
B, Curbă parametrizată în spaţiul euclidian R3 187
Drum continuu 187
Drum rectificabil în R3 188
Curbă parametrizată netedă 192
Dreaptă tangentă 193
Unghiul a două curbe parametrizate netede 194
Plan osculator 194
Curbură 196
Reper Frenet 197
Formulele Frenet – Serret 198
Centru de curbură 202
Curbă parametrizată în vecinătatea unui punct biregulat 202
Teoreme de existenţă şi unicitate 204
C. Curbă netedă în spaţiul euclidian R3 205
Curbă orientată şi reper Frenet 207
Lecţia XI. Geometrie diferenţială II (“Suprafeţe”) 211
D. Suprafaţă netedă în spaţiul euclidian R3 211
Suprafaţă parametrizată netedă în spaţiul euclidian R3 211
Suprafaţă netedă în spaţiul euclidian R3 212
Curbe parametrizate pe suprafaţă netedă 213
Spaţiu vectorial tangent, plan tangent, normală 215
Aplicaţie netedă între suprafeţe 218
Prima formă fundamentală (forma lui Gauss) 220
Izometrie 223
Orientare 224
Indicatoarea Gauss (indicatoarea sferică) 226
A doua formă fundamentală 228
Curbură normală 229
Curburi principale 232
12
Linie de curbură 237
Curbura gaussiană şi curbura medie 239
Reper Darboux 242
Paraboloid osculator 243
Tipuri de puncte 244
Linie asimptotică 247
Lecţia XII. Elemente de programare liniară 251
Punct extremal 251
Direcţie extremală 253
Programare liniară şi algoritmul Danzig 257
Algoritmul Agmon - Motzkin - Schoenberg 270
ANEXA 273
BIBLIOGRAFIE 279

Irina Meghea

Navigation

Irina Meghea

Followers

Blog Archive

Despre mine

Analiza

Monitonizarea si statistica poluantilor atmosferici !

Algebra