Algebra
5
PREFAŢĂ
Lucrarea de faţă îşi propune să vină în ajutorul studenţilor anului I ai
facultăţilor din Universitatea POLITEHNICA Bucureşti, adunând în
conţinutul său noţiunile de algebră, geometrie analitică şi geometrie
diferenţială de bază necesare învăţământului tehnic superior. Manualul a
fost astfel organizat în urma predării de către autoare a cursului de “Algebră
şi Geometrie” la anul I al Facultăţii ETTI, urmându-se programa în vigoare
şi cerinţele cadrului actual al predării acestei discipline.
Datorită faptului că optez pentru eliminarea, dacă se poate totală, a
demonstraţiilor în cursul predării pentru a putea urmări şi expune simplu şi
clar noţiunile care trebuiesc reţinute în scopul acumulării cu uşurinţă a
noţiunilor esenţiale cu accent pe partea aplicativă, găsesc loc aici pentru a
da justificările complete pentru a oferi celor interesaţi de o coerenţă
matematică riguroasă. Caracterul abstract este temperat de o multitudine de
aplicaţii şi exerciţii rezolvate, astfel că lucrarea poate sluji şi ca ghid de
seminar. De asemenea, sunt date exemple de aplicare a noţiunilor predate în
probleme izvorâte din ştiinţele naturii şi tehnică, fapt care motivează
(dincolo de rolul formativ al învăţării matematicii) şi oferă cititorului o
viziune cuprinzătoare asupra materialului studiat.
În speranţa de a deveni utilă această carte, consider că va contribui la
fundamentarea riguroasă si la consolidarea pregătirii inginereşti a viitorilor
specialişti,
Irina Meghea,
26.01.2010
7
CUPRINS
Prefaţă 5
Cuprins 7
Lecţia I. Matrici , determinanţi, sisteme de ecuaţii liniare 13
Completări pentru matrici 13
Completări pentru sisteme de ecuaţii liniare 18
Matrici operatori 22
Forma în scară 25
Lecţia II. Structuri algebrice 27
Relaţie binară 27
Relaţie de ecivalenţă 27
Relaţie de ordine 27
Grup 28
Grup ciclic 29
Ordinul unui element 29
Omomorfism de grupuri 29
Inel 30
Omomorfism de inele 30
Corp 30
Omomorfism de corpuri 30
Caracteristica unui corp 30
Inelul Zp 31
Elemente de teoria grupurilor finite 34
Subgrupuri normale şi subgrupuri cât 35
8
Lecţia III. Spaţii vectoriale. Dependenţă şi independenţă liniară.
Bază şi dimensiune 41
Spaţiu vectorial 41
Produs de spaţii vectoriale 42
Spaţiu vectorial cât 42
Spaţiu vectorial preordonat 42
Dependenţă liniară 42
Bază şi dimensiune 43
Schimbarea bazei 45
Sumă directă 52
Mulţime convexă 54
Lecţia IV. Valori proprii şi vectori proprii. Tipuri speciale de
matrici. Localizarea valorilor proprii 57
1. Valori proprii şi vectori proprii 57
2. Matrici Hermite 63
Matrici Hermite pozitive şi negative 68
A. Localizare şi inegalităţi 70
B. Teorema Perron-Frobenius 73
C. Teorema Hurwitz 76
D. Metode de calcul 79
Lecţia V. Aplicaţii liniare şi matrici asociate. Tipuri speciale de
operatori liniari 89
Operator liniar 89
Funcţională liniară (formă liniară) 89
Matricea unui operator liniar 90
Dualul algebric X # 94
Operator liniar autoadjunct 94
Matrici idempotente 96
Teorema Jordan 98
Câmpul valorilor 109
9
Lecţia VI. Spaţii normate. Spaţii prehilbertiene. Spaţii Hilbert.
Norme matriciale. Procedeul Gram-Schmidt 111
Spţiu normat 111
Spaţiu prehilbertian 114
Identităţi 115
Spaţiu Hilbert cu dimensiunea finită 117
Algebră pe corp comutativ 118
Algebră normată 118
Normă de aplicaţie liniară 119
||A||H , ||A||F , ||A||cl 119
Normă de aplicaţie liniară 119
Normă matricială tare 121
Spaţiul normat Mn (K), K = R sau K = C 122
Algebra Banach Mn (K), K = R sau K = C 123
Lecţia VII. Forme biliniare. Forme pătratice. Reducerea la forma
canonică şi clasificare 125
1. Forme biliniare 125
Forme biliniare pe Vn 125
2. Forme pătratice 127
Forme biliniare pe Vn 127
Forme biliniare pe Vn spaţiu vectorial real 131
Determinant Gram 133
Două forme pătratice 134
Lecţia VIII. Produse vectoriale şi produse mixte. Planul şi
dreapta în spaţiu 135
1. Formă multiliniară alternată şi produs exterior 135
Operetotul de antisimetrizare 136
Produs exterior 136
10
2. Spaţiu vectorial euclidian 140
Spaţiu vectorial real orientat 140
Spaţiu vecturial orientat 142
Produs exterior în En orientat 143
Produs vectorial în En orientat 145
Algebra Lie E3 146
3. Geometrie euclidiană 148
Distanţe, volume, unghiuri 148
Aplicaţie izometrică 150
Formă pătratică afină pe spaţiul euclidian En 151
Lecţia IX. Conice şi cuadrice. Reprezentări geometrice 153
Hiperplan principal şi direcţie principală 153
Formă canonică izometrică 156
Hipercuadrice într-un spaţiu euclidian 160
Hipersfera 165
Conice în E 2 166
Cuadrice în E3 169
Elipsoid nevid 170
Hiperboloid cu o pânză 171
Hiperboloid cu două pânze 171
Paraboloid elliptic 172
Paraboloid hiperbolic 172
Cilindru 173
Con 174
Cuadrice de rotaţie 174
Lecţia X. Geometrie diferenţială I (“Curbe”) 177
Geometrie diferenţială în spaţiul euclidian R3 177
A. Curbă paramatrizată în E2 şi în E3 177
Curbă Jordan rectificabilă 178
Tangentă 183
11
Plan osculator 184
Curbură 185
B, Curbă parametrizată în spaţiul euclidian R3 187
Drum continuu 187
Drum rectificabil în R3 188
Curbă parametrizată netedă 192
Dreaptă tangentă 193
Unghiul a două curbe parametrizate netede 194
Plan osculator 194
Curbură 196
Reper Frenet 197
Formulele Frenet – Serret 198
Centru de curbură 202
Curbă parametrizată în vecinătatea unui punct biregulat 202
Teoreme de existenţă şi unicitate 204
C. Curbă netedă în spaţiul euclidian R3 205
Curbă orientată şi reper Frenet 207
Lecţia XI. Geometrie diferenţială II (“Suprafeţe”) 211
D. Suprafaţă netedă în spaţiul euclidian R3 211
Suprafaţă parametrizată netedă în spaţiul euclidian R3 211
Suprafaţă netedă în spaţiul euclidian R3 212
Curbe parametrizate pe suprafaţă netedă 213
Spaţiu vectorial tangent, plan tangent, normală 215
Aplicaţie netedă între suprafeţe 218
Prima formă fundamentală (forma lui Gauss) 220
Izometrie 223
Orientare 224
Indicatoarea Gauss (indicatoarea sferică) 226
A doua formă fundamentală 228
Curbură normală 229
Curburi principale 232
12
Linie de curbură 237
Curbura gaussiană şi curbura medie 239
Reper Darboux 242
Paraboloid osculator 243
Tipuri de puncte 244
Linie asimptotică 247
Lecţia XII. Elemente de programare liniară 251
Punct extremal 251
Direcţie extremală 253
Programare liniară şi algoritmul Danzig 257
Algoritmul Agmon - Motzkin - Schoenberg 270
ANEXA 273
BIBLIOGRAFIE 279
cum am acces online la aceasta carte ??