Irina Meghea

(-)

Followers

Despre mine

Fotografia mea
Assoc. Prof. , Dr. , University POLITEHNICA of Bucharest , Faculty of Applied Sciences , Department of Mathematics II, irina.meghea@upb.ro
Un produs Blogger.

Created by www.csstemplateheaven.com |
Blogger Template by Blogger Template Place

Analiza

5
PREFAŢĂ
Lucrarea de faţă vine în sprijinul studenţilor anilor I ai facultăţilor
din Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti în studiul analizei
matematice cu o serie de probleme rezolvate, astfel încât să poată înţelege şi
deprinde metodele de calcul şi aspectele lor aplicative.
Structurată astfel în urma predării de către autoare a seminarului de
Analiză matematică la anul I al Facultăţii de Electronică, Telecomunicaţii şi
Tehnologia Informaţiei, lucrarea s-a dezvoltat ca o necesitate a studiului
individual, susţinând totodată părerea autoarei, şi nu numai a ei, că la baza
învăţământului tehnic superior trebuie să stea o solidă pregătire matematică,
deoarece un viitor inginer, rezolvând o problemă, trebuie să obţină şi
rezultatul corect, nu numai să ştie cum ar trebui rezolvată aceasta.
Materialul pus la dispoziţie urmează îndeaproape programa
disciplinei “Analiză matamatică” predată în anul I la facultăţile de profil
electric din cadrul universităţii, programă asemănătoare de altfel cu a
oricărei facultăţi tehnice.
Se regăsesc aici probleme rezolvate (cel mai adesea complet ori
avind numeroase indicaţii de calcul), precedate de necesarul teoretic (fără
demonstraţii însă) cu aplicabilitate directă în rezolvare.
Lucrarea oferă astfel cititorului o imagine de ansamblu asupra
utilităţii practice a noţiunilor (uneori la un grad ridicat de abstractizare) şi
implicării lor în probleme concrete izvorâte din probleme efective de
modelare.
În speranţa de a o găsi utilă, consider că lucrarea va contribui la
fundamentarea riguroasă şi la consolidarea pregătirii inginereşti a viitorilor
specialişti.
Irina Meghea,
10.03.2010
7
CUPRINS
Prefaţă 5
Cuprins 7
Lecţia I. Mulţimi. Şiruri de numere reale şi complexe.
Spaţii metrice. Teoremă de punct fix 11
1. Mulţimi şi funcţii 11
Mulţime finită 11
Şir finit 11
Şir infinit 12
Şir dublu 12
Familie de mulţimi 12
2. Şiruri de numere reale 15
2.1. Limită superioară şi limită inferioară 15
2.2 Şir de numere complexe 17
3. Spaţii metrice 18
3.1 Prime proprietăţi 18
Distanţă 18
Sferoid 20
3.2. Teorema Banach de punct fix 23
LECŢIA II. Serii de numere reale sau complexe. Serii
de funcţii 26
1. Serii de numere complexe 26
1.1 Definiţii, teorema Cauchy 26
1.2 Regula Abel 28
1.3 Convergenţă absolută 29
1.4 Criterii de comparaţie 32
1.5 Criteriul rădăcinii şi criteriul raportului 34
1.6 Criteriile Kummer, Raabe - Duhamel, Bertrand, Gauss 36
1.7 Operaţii de inel cu serii de numere complexe 38
2. Serie de funcţii 41
8
Convergenţă uniformă 44
Criterii de convergenţă uniformă 47
Limită, continuitate, derivabilitate, integrabilitate 52
Lecţia III. Serii de puteri. Serii Taylor. Limită şi
continuitate 64
1. Serii de puteri. Serii Taylor 64
1.1 Formula Taylor şi seria Taylor 64
A. Formula Taylor 64
B. Formula Taylor localã 65
C. Serie Taylor 69
1.2 Serie Taylor 76
Serie Taylor reală 76
2. Limită şi continuitate 93
2.1 Limită 93
Funcţie reală cu n variabile reale 93
2.2 Continuitate 94
Funcţie reală cu n variabile reale 94
Lecţia IV. Diferenţialitate. Derivate parţiale. Folosirea
diferenţialităţii în studiul funcţiilor 96
1. Diferenţialitate. Derivate parţiale 96
1.1 Derivata parţială (caz particular) 96
1.2 Diferenţiala 99
Derivata Fréchet 99
1.3 Diferenţiala funcţiei cu valori în Rm şi cu n variabile reale
100
Matrice Jacobi 100
1.4 Derivarea Fréchet a funcţiei compuse 103
Diferenţiala funcţiei reale compuse 104
1.5 Formula Taylor - Lagrange – Cauchy 105
1.6 Diferenţiala de ordin superior 107
Funcţie reală cu mai multe variabile reale 108
Funcţie reală cu mai multe variabile reale compusă 111
Schimbare de variabile 112
9
2. Folosirea diferenţiabilităţii în studiul funcţiilor 114
2.1 Extreme locale interioare 114
2.2 Funcţii implicite 119
2.2.1. Funcţie implicită 119
Plan tangent 121
2.2.2. Sistem de funcţii implicite 122
2.3 Dependenţă funcţională 126
2.4 Extreme locale condiţionate 128
Algoritm pentru găsirea extremelor locale condiţionate 129
2.5 Extreme Globale 133
Lecţia V. Integrale Riemann generalizate. Integrale cu
parametru 135
1. Integrale Riemann generalizate 135
1.1 Integrala Riemann pe interval nemărginit 135
1.2 Integrala Riemann cu punct singular 144
2. Integrala Riemann pe interval compact cu parametru 153
Lecţia VI. Integrale Riemann multiple 158
1. Integrale Riemann multiple 158
1.1. Schimbare de variabile în integrala Riemann multiplã 168
Coordonate polare în R2 169
Coordonate polare în R3 170
Coordonate polare în Rn, n ≥ 2 170
Coordonate polare generalizate în R2 172
Coordonate polare generalizate în R3 172
Coordonate polare generalizate în Rn, n ≥ 2 172
Exemple n = 2 172
Exemple n = 3 180
Exemple n ≥ 1 185
2. Integrala Riemann generalizatã în Rn, n ≥ 2 188
Exhaustie admisă 188
Punct singular 188
Integrala Riemann generalizată 188
Lecţia VII. Integrale curbilinii. Integrale de suprafaţă.
Formule integrale 203
1. Integrale curbilinii 203
1.1 Integrala curbilinie de prima speţă 203
10
Integrala curbilinie de speţa întâia în E3 203
Integrala curbilinie de speţa întâia în E2 204
1.2 Integrala curbilinie a doua speţă 205
Integrală curbilinie de speţa a doua pe suport 205
Integrala curbilinie de spaţa a doua în E2 206
2. Integrare pe suprafaţă netedă din R3 211
2.1 Aria suprafeţei netede din R3 211
2.2 Integrare pe suprafaţă netedă din R3 216
Integrala pe suprafaţă de speţa întâi 216
Integrala pe suprafaţă netedă de speţa a doua 220
3. Formule integrale 222
3.1 Formula generală Stokes-Ampère-Poincaré 222
Formule integrale (varietate diferenţiabilă cu bord) 227
Formula Gauss-Ostrogradski 227
Formula Gaus - Ostrogradski − cazuri particulare 228
Formulele Green 231
Formula S - A - P (varietate diferenţiabilă cu pseudobord standard) 242
Varietate diferenţiabilă cu pseudobord standard 242
Formula clasică Stokes-Ampère (formula S - A) 250
3.2 Analiză vectorială 254
Câmp scalar şi câmp vectorial 254
Circulaţie 255
Flux 258
Gradient 262
Divergenţă 264
Formule integrale în notaţii vectoriale şi formulări ale acestora 264
Operatori diferenţiali de ordinul al doilea 270
Operatorul nabla 273
Tabel de definiţii şi formule 278
BIBLIOGRAFIE 281

Trimiteți un comentariu